חתול - מוקצה ? איסור צידה בחתול רחוב שנכנס מרצונו לביתנו בשבת.

שלום רב,

2 שאלות ברשותכם :

1. האם חיית מחמד כגון חתול, נחשבת למוקצה ? (ראיתי שיש מחלוקת בעניין) . רציתי לדעת מה נכון להלכה, כאשר יש חיית מחמד כגון חתול, ומה למעשה זה מתיר ואוסר מעשית ביום השבת. (מותר ללטף, מותר להרים ? מותר להרים בעת הצורך ? וכו').

2. ראיתי שכאשר נכנס בעל חיים לבית בשבת ובעל הבית נועל את הדלת ואת בעל החיים בתוך הבית זהו איסור צידה, אם הבית הינו קטן זה איסור תורה ואם הבית גדול איסור דרבנן (בא"ח).
רציתי לדעת למעשה, בימי החורף לעיתים חתול רחוב נכנס לביתנו ביום השבת והוא מעוניין להשאר כי בחוץ יורד גשם, במקרה כזה, אפשר לסגור את הדלת וללכת לישון וזאת סגירת דלת בהיתר? או שמא זה גם איסור צידה כי הוא לא חיה ששיכת לי בבעלותי ?

תודה ויישר כוח.